Стохастическая модель принятия инвестиционных решений в условиях риска

финансовый менеджер ООО «Графт М»
 
Данг А.З.,
риск-аналитик,
сотрудник исследовательской группы «РЭА-Риск-Менеджмент»
 
Мищенко А.В.,
доктор экономических наук, профессор МГТУ им. Н.Э. Баумана

Финансовый отдел любой крупной  компании регулярно сталкивается с задачей выбора из некоторого множества инвестиционных возможностей наиболее рентабельных. В общем случае инвестиционные проекты различаются как рентабельностью, так и требуемым объемом финансирования; таким образом, задача состоит в выборе совокупности проектов, обеспечивающей оптимальное сочетание прибыли и риска и не выходящей за возможности финансирования, имеющиеся у компании.

Как правило, на практике при решении данной задачи рискпроектов, связанный с волатильностью генерируемых ими денежных потоков, учитывается с помощью метода RADR (Risk-Adjusted Discount Rate): ставка дисконта, используемая при расчете NPV каждого из проектов, увеличивается на премию за специфический риск данного проекта [3]. Очевидный недостаток данного подхода состоит в том, что не существует однозначного и математическиобоснованного подхода к коррекции ставки дисконта на риск; помимо этого учетриска в величине NPV каждого проекта по отдельности не позволяет в явном видеучесть взаимозависимость проектов, проявляющуюся через корреляцию денежныхпотоков, генерируемых ими, и в общем случае могущую существенно влиять на волатильность суммарного NPV возможных сочетаний проектов [4].

Ограничения по объемам финансирования в большинствеслучаев учитываются еще на этапе выявления инвестиционных возможностей, изкоторых менеджменту предстоит сделать выбор, а также путем изменения масштабапроектов, что может привести к неоправданному отказу от выгодных возможностей. Типичная формулировка ограничений в виде простых условий типа«суммарный объем чистых инвестиций за первый год должен составлять не более $xxx тыс.» также имеет существенные недостатки: прежде всегоона совершенно не учитывает волатильность денежногопотока компании и его распределение по периодам, а также не позволяет учестькорреляцию денежных потоков по рассматриваемым проектам и валового денежногопотока компании.

Таким образом, типичные подходы к постановке и решениюзадачи принятия инвестиционных решений заведомо упрощены и не учитываютсущественную часть информации, могущую быть использованной при принятиирешения, что может привести к необоснованному отказу от выгодных инвестиционныхвозможностей. Как показывается в данной работе, ряд упрощенийнеоправданны и от них можно отказаться, тем самым существенно улучшив качествополучаемого решения.

В данной работе представлена математическая модельпринятия инвестиционных решений, позволяющая в явном виде учесть волатильность каждого отдельного проекта и корреляциюпроектов между собой, отразить отношение инвестора к риску и отследить еговлияние на получаемое решение и при этом максимально гибко использоватьденежные средства компании для финансирования рассматриваемых проектов.Приведен расчетный пример использования модели применительно к задаче, внастоящее время стоящей перед финансовыми отделами торговых сетей Москвы:оценке целесообразности запуска собственных брэндов.Детализация модели реализована для данной задачи и аналогично реализуется длякаждой конкретной задачи.

Постановка оптимизационной задачи в модели

В качестве критерия в модели используется критерий MVC (Mean Variance Criterion): (далее вместо обозначений m, ² и будут использоваться E, V и S соответственно) [1].

Поскольку волатильность NPVвозможных сочетаний проектов учтена в критерии, при расчете NPV каждого изпроектов используется одна и та же не корректируемая на специфический рискпроекта ставка дисконта, отражающая цену капитала компании.

NPV каждого из проектов рассчитывается попредельным ДП, генерируемым проектом за некоторое фиксированное число периодовс момента запуска, одинаковое для всех проектов. Для обеспечения возможностисложения NPV всех проектов приводятся к одному и тому же периоду.

Возможности финансирования рассматриваемых проектовучитываются на основе следующего подхода к обеспечению платежеспособностикомпании: суммарный объем денежных средств (далее ДС) компании на некотороемножество дат инвестиционного горизонта с высокой вероятностью (как правило,95% или 99%) должен превышать некоторую критическую величину. Этим условиемпредусматривается некоторый денежный резерв, который будет в наличиипрактически в любом случае. Данный резерв является страховкой на случай, еслипроизойдет маловероятное (вероятности 5% или 1%) событие; цена страховки заключаетсяв том, что данный резерв может быть инвестирован лишь в абсолютноликвидные безрисковые (или близкие к безрисковым) активы, но не в основную деятельность, чтоведет к потере в доходности [2].

Данный подход к обеспечению платежеспособности компанииявляется наиболее гибким, поскольку позволяет в явном виде принять решение одопустимом уровне риска неплатежеспособности и величине страхового резерва.

При использовании данного подхода ограничения пофинансированию проектов выражаются следующим образом: для каждого возможногосочетания проектов суммарный объем ДС компании, образующийся при реализацииданного сочетания, на некоторое множество дат инвестиционного горизонта сзаданной вероятностью P превышает заданный страховой резерв.

Итак, постановка оптимизационной задачи имеет следующийвид:

,

где

X  —  множество возможных сочетаний проектов;

М  —  множество дат;

CE_m(x)  —  суммарный объем ДС компании на дату m в случае реализации сочетания x;

P  —  выбранная доверительная вероятность;

D  —  требуемый страховой резерв.

Очевидно, использование в модели параметров распределенийслучайных величин (мат. ожиданий, дисперсий, квантилей) требует принятиянекоторых изначальных предположений о характере распределения составляющих денежногопотока компании. Естественно, когда данные предположения необоснованны,точность рассматриваемой модели делается лишь видимостью, и преимущества моделинивелируются. Однако, как показано на примере рассматриваемой в данной работезадачи, возможно построить модель на основетеоретически и статистически обоснованных предположений, тем самым обеспечиваядействительные преимущества предлагаемой модели.

Детализация модели для рассматриваемой задачи

Некоторой торговой сети г. Москвы предстоит погасить рядкрупных кредитов в период с сентября 2003 г. по декабрь 2004 г. Аналитикифинансового отдела сети на основе модели денежного потока компании, изложеннойниже, просчитали, что при прогнозируемой динамике продаж существует недопустимовысокая вероятность нехватки денежных средств дляпогашения кредитов. Данное обстоятельство стало поводом к рассмотрениювозможности запуска собственных брэндов.Для запуска собственных брэндов были выбраны отделымолочной продукции и соков как, с одной стороны, дающие существенную долю ДПсети, так, с другой стороны, представляющие выраженнобрэндированные товары.

Для удобства изложения и понимания детализация моделибудет излагаться от частного к общему. Сначала будут сделаны предположения охарактере ДП отделов, на их основе будет составлена модель ДП и ДС сети имодель NPV запуска собственного брэнда.

Отдел маркетинга сети выделяет три ценовых сегмента соков и два ценовых сегмента молочной продукции. Здесь и далее сегменты отдела соков обозначаются 1 (верхний сегмент), 2 (средний) и 3 (нижний), сегменты отдела молока — 4 (верхний) и 5 (нижний). Месяца с сентября 2003 г. по декабрь 2004 г. нумеруются от 1 до 16. Каждый сегмент характеризуется следующими параметрами (в расчете на 1 л. сока и 1 л. условной «молочной продукции»):

1. средняя цена имеющихся марок данного сегмента в сети;
2. средняя себестоимость имеющихся марок данного сегмента для сети — цены прихода от оптовых торговцев или производителей;
3. средний уровень маржинального дохода в расчете на единицу средней себестоимости имеющихся марок данного сегмента, в %.

Собственная марка, запускаемая в сегменте, будетпродаваться по средней цене имеющихся марок сегмента. По каждому сегменту былиоценены:

1. себестоимость собственной марки — включает цену, по которой небрэндированный продукт может быть закуплен у производителя, затраты на упаковку и доставку, но не затраты на создание и продвижение брэнда;
2. уровень маржинального дохода в расчете на единицу себестоимости собственной марки, в %.

Отделом маркетинга сети подготовленыпрограммы продвижения собственных брэндов по каждомуиз сегментов. Для каждой из программ были даны экспертные оценки:

1. начальной (в месяце запуска брэнда) доли собственной марки в продажах по сегменту;
2. предельной доли собственной марки в продажах по сегменту;
3. длительности (в мес.) роста доли собственной марки в продажах сегмента.

   Предполагается, что рост доли собственной марки в продажах сегмента от начального до предельного значения будет происходить линейно.

4. затрат на продвижение/поддержание собственного брэнда — планируемые маркетинговые затраты расписаны по месяцам.

На основе анализа потребительского спроса на соки и молочную продукцию и с учетом занятости маркетологов были определены наиболее благоприятные с этих точек зрения месяца запуска соковых брэндов — сентябрь 2003 г., январь 2004 г. и май 2004 г., брэндов молочной продукции — октябрь 2003 г. и март 2004 г. Маркетологи считают нецелесообразным запуск собственного брэнда в нескольких ценовых сегментах одного отдела в одном и том же месяце. Таким образом, возможные сочетания проектов запуска собственных брэндов в ценовых сегментах двух отделов формируются с рассмотрением в качестве возможных только указанных месяцев запуска, причем в каждом из указанных месяцев собственный брэнд может быть запущен только в одном ценовом сегменте соответствующего отдела.

Необходимо подчеркнуть, что допустимые месяца запуска брэндов выбраны условно и единственно для сокращениядлительности произведения вычислений программой Excelпутем искусственного сокращения множества возможных сочетаний проектов. Приналичии соответствующего программного обеспечения
и/или вычислительных мощностей авторы работы не стали бы вводить данноеусловие.

Динамика продаж сетиопределяется следующими факторами:

1. рост покупательной способности населения Москвы и рост популярности сети у покупателей среднего класса. Прогноз темпа прироста продаж сети за счет данных 2 факторов — 20% в год.
2. сезонность. По статистике, сезонность продаж сети проявляется только в декабре и январе за счет новогодних праздников, в прочие месяца сезонность не проявляется. Прогноз темпа прироста продаж сети и, в частности, продаж соков, в декабре и январе по отношению к ноябрю и февралю за счет сезонности — 40%. Продажи молочной продукции в целом не подвержены влиянию сезонности.

Отделом маркетинга был произведен прогноз продаж покаждому из сегментов в целом в сентябре 2003 г.

Математическая модель маржинального дохода по каждому из сегментов

Продажи по сегменту в целом (обозн. SS) по каждому из месяцев моделируютсянормально распределенной случайной величиной (далее св). E (SS) рассчитываются на основе прогноза продажпо сегменту в сентябре 2003 г. и описанной выше прогнозной динамики продажсегмента [5].

Продажи собственной марки (обозн. OS) моделируются нормальной св с E(OS), равной E(SS),умноженной на прогноз доли собственной марки в продажах по сегменту в данноммесяце (обозн. oss). Приэтом oss рассчитываются на основе оценок начальной ипредельной доли собственной марки в продажах сегмента.

Продажи имеющихся марок (обозн. BS) разделяются на двесоставляющие:

1. постоянная часть (обозн. K), рассматриваемая для каждого месяца как константа и рассчитываемая как доля Е (SS). Для каждого сегмента отделом маркетинга была произведена оценка доли постоянной части продаж имеющихся марок в продажах сегмента в целом (обозн. bsps);
2. случайная часть (обозн. B), отрицательно коррелирующая с продажами собственной марки в данном сегменте в данном месяце (за счет вытеснения). Она моделируется нормальной св с E(B) = E(SS) x (100% - oss - bsps).

Представление продаж имеющихся марок в виде суммыпостоянной и случайной составляющих позволяет отразить невозможность полноговытеснения имеющихся марок собственной, сохраняя отрицательную корреляцию междуих продажами в данном месяце.

Маржинальный доход (далее МД) по постоянной части продажимеющихся марок рассчитывается как произведение соответствующего уровня маржина величину постоянной части продаж и, таким образом, является константой какпроизведение двух констант.

МД по случайной части продаж имеющихся марок и продажамсобственной марки рассчитывается как произведение соответствующего уровня маржина продажи. Данный МД как произведение константы и нормальной св распределен нормально с МО,равным произведению соответствующего уровня маржи на МО соответствующих продаж.На основании статистических данных по каждому из сегментов были оцененыкоэффициенты вариации МД по продажам собственной марки и МД по продажамимеющихся марок; таким образом, стандартные отклонения рассчитываются какпроизведение МО и коэффициента вариации.

Введем следующие обозначения:

SCM (Segment Contribution Margin) — МД по сегменту в целом за вычетом затрат на продвижение собственной марки; K — МД по постоянной части продаж имеющихся марок, B — МД по случайной части продаж имеющихся марок, O — МД по продажам собственной марки, M — планируемые затраты на продвижение собственной марки.

Имеем: SCM = K + B + O - M.

K и M — константы, B и O распределены нормально,следовательно, SCM распределен нормально со следующимипараметрами:

E(SCM) = E(B) + E(O) + K - M,

V(SCM) = V(B + O) = V(B) + V(O) + 2 x cov(B,O),

cov(B,O) = S(B) x S(O) x R(B,O),

где R(B,O) — коэффициент корреляции МД по продажам собственной марки и МД по случайной части продаж имеющихся марок (продаж в одном и том же месяце). R(B,O) в каждом из сегментов предполагается одинаковым для всех рассматриваемых месяцев. По каждому из сегментов имеются оценки R(B,O).

Итак, детализация модели основывается на предположении онормальности распределения продаж по сегменту и представлении продаж имеющихсямарок в виде суммы константы и нормальной составляющей. Тогда МД по каждому из сегментов за вычетом затрат на продвижениесобственной марки распределен нормально с рассчитанными выше параметрами.

Математическая модель маржинального дохода по двум рассматриваемым отделам

МД по двум отделам в целом за вычетомзатрат на продвижение собственных марок (обозн.CM — Contribution Margin) в каждом месяце формируется как сумма МД по каждомуиз сегментов:

(здесь и далее индекс s указывает номер сегмента).

CM как сумма нормальных св распределен нормально с параметрами:

;

.

Последние ковариации рассчитываются как произведениестандартных отклонений, умноженное на соответствующий коэффициент корреляции.

Оценка коэффициентов корреляции была произведена следующимобразом: имеется оценка, что величины МД по продажам в различных отделах внутрисети, относящимся к одному и тому же месяцу, коррелируютдруг с другом со средним коэффициентом корреляции RCM = 0,3. Статистическиеданные показывают, что коэффициент корреляции RCM хорошо отражает корреляциюмежду различными ценовыми сегментами отдела соков, между сегментами отделасоков и отдела молока, между сегментами отдела молока. Пооценке маркетологов, все прочие факторы, не относящиеся к принадлежностисегментов к одной сети, уравновешивают друг друга, за исключением случаевкорреляции МД по сегментам 1 и 4, а также 3 и 5, для которых оценкакоэффициента корреляции была повышена до 0,5 в силу популярности марок у одногои того же сегмента покупателей.

При этом не делается различие между корреляцией МД попродажам имеющихся марок по двум разным сегментам, имеющихся марок по одномусегменту и собственной марки по другому, собственных марок по двум разнымсегментам. Таким образом,

для s1 s2   R(B_s1, B_s2) = R(B_s1, O_s2) = R(O_s1, O_s2),

для s1 = s2     R(B_s1, B_s2) = R(O_s1, O_s2) = 1; R(B_s1, O_s2) = R(B, O).

Итак, МД по двум отделам в целом за вычетом затрат напродвижение собственных марок в любом месяце распределеннормально с параметрами, рассчитанными выше.

Математическая модель денежного потока сети в целом

На практикеторговым сетям как крупным покупателям предоставляется значительныйкоммерческий кредит и дополнительные отсрочки к нему; таким образом, в то времякак поступления от продаж, осуществленных в данном месяце, происходят в этом жемесяце, оплата проданных в данном месяце товаров производится в одном из следующихмесяцев (либо, если товар был закуплен ранее крупной партией, в одном изпредыдущих месяцев). Таким образом, движение денежных средств,образующее маржинальный доход, происходит в течение нескольких месяцев.

Для целей данной работы неучитывается разница во времени между образованием МД по начислению и подвижению денежных средств; таким образом, предполагается, что весь МД попродажам отдела в данном месяце поступает в этом же месяце. Поскольку отсрочкии кредиты компенсируют друг друга (например, одной из популярных практикрасчета оптовиков с сетями является следующая: в каждом месяце сеть платит затовар, проданный в предыдущем месяце), данное упрощение не ведет ксущественному искажению распределения ДП компании по месяцам.

Сальдо ДП сети в каждом измесяцев с учетом данного упрощения представляется в следующем виде: CF = CM +OCM – OC – CC , где CF (Cash Flow)— сальдо ДП сети, CM — МД по двум рассматриваемым отделам, OCM (Other departments" Contribution Margin) — МД попрочим отделам сети, CC (Capital Costs)— затраты на выплату кредитов и процентов по ним, OC (OtherCosts) — все прочие затраты.

Как показано выше, CM распределены нормально с известными параметрами.

OCM моделируется нормальной св.Отделом маркетинга была произведена оценка E(OCM) в сентябре 2003 г.Предполагается, что средняя маржа сети по продажам по всем отделам за вычетомотделов соков и молочной продукции останется неизменной, поэтому E(OCM) имеетту же динамику, что и продажи сети в целом (см. выше). Отделом маркетинга былапроизведена оценка коэффициента вариации OCM для всех рассматриваемых месяцев.

OC и CC моделируютсяконстантами. Была произведена оценка OC в сентябре 2003 г. Предполагается, чтоOC будут расти за счет двух факторов — инфляции доллара¹и роста продаж сети, требующего увеличения ряда статей расходов. Годовой темпприроста OC на ближайшие 2 года (считая с сентябре2003 г.) оценивается в 10%, при этом предполагается, что рост OC, как и ростпродаж сети, будет происходить равномерно в течение года по правилу сложныхпроцентов.

СС задаются отдельно в каждомиз месяцев в соответствии с графиком погашения кредитов и процентов по ним.Менеджмент сети планирует, если это окажется возможным, погасить кредиты засчет нераспределенной прибыли, но не путем рефинансирования.

Объемденежных средств сети на конец месяца m (обозн. CE_m— Cash & its Equivalents) рассчитывается следующим образом:

,

где

i  — индекс месяца;

CE₀  — величина ДС сети на начало сентябре 2003 г. — рассматривается как константа с заданной оценкой.

Согласно подходу к обеспечению платежеспособностикомпании, используемому в модели, суммы, равные квантилям CEmуровня (1P), где P — выбранная доверительная вероятность, свободны дляинвестирования в абсолютно ликвидные безрисковые (илиблизкие к безрисковым) активыпо крайней мере на 1 месяц. Максимальная точность модели была бы полученапри учете в составе CE_m возможностиполучения доходов с данных сумм. Однако для целей данной работы даннаявозможность не принципиальна и для упрощения изложениярассматриваться не будет.

CE_m распределен нормально как сумма нормальных величин иконстант. Рассмотрим параметры распределения:

,

Рассмотрим каждую из составляющих данную сумму ковариаций:

1.

Ковариации, образующие данную сумму, отличаются от ковариаций, рассчитанных при вычислении , тем, что величины МД относятся к различным месяцам. Каждая из данных ковариаций рассчитывается как произведение стандартных отклонений, умноженное на соответствующий коэффициент корреляции. Для МД, относящихся к одному и тому же месяцу, коэффициенты корреляции были оценены, как описано выше. На основании статистических данных отделом маркетинга сети разработана следующая модель ослабления корреляции МД во времени: при удалении МД друг от друга по месяцам коэффициент корреляции сохраняет свой знак при постепенном (линейном) уменьшении абсолютной величины; при удаленности на 6 месяцев и более (например, сентябрь 2003 г. (1) и март 2004 г. (7) корреляция исчезает. Таким образом,

Аналогично рассчитываются  и .

2. .

CM и OCM, относящиеся к одному и тому же месяцу, коррелируют со средним коэффициентом корреляции продажразличных отделов внутри сети (RCM). Для отражения корреляции CM и OCM, относящихся к разным месяцам, используется описанная вышемодель ослабления корреляции МД во времени.

3. Аналогично п. 2.

4. .

Используется описанная выше модель ослабления корреляции во времени.

Таким образом, рассчитаны все компоненты .

Итак, объем ДС сети на конец каждого месяца распределен нормально с рассчитанными выше параметрами. На основе используемого в модели подхода к обеспечению платежеспособности компании задаются ограничения по финансированию для месяцев с сентября 2003 г. по декабрь 2004 г.:

Математическая модель NPV запуска собственного брэнда по сегменту

Число периодов для расчета NPV — 12 месяцев как горизонтпрогнозирования продаж, принятый отделом маркетинга сети.

Для обеспечения возможности сложения NPV всех проектовприводятся к одному и тому же периоду — к сентябрю 2003 г. (дисконтированиесразу производится к началу данного месяца).

Дисконтирующий множитель для i-го месяца будем обозначать , где d — используемая ставка дисконта за месяц.

Введем следующие обозначения:

NPV_s —  NPV запуска собственного брэнда в сегменте s;

NPV —  суммарный NPV любого возможного сочетания проектов запуска собственного брэнда по всем сегментам двух отделов;

Ss —  номер месяца запуска собственного брэнда в сегменте s; если в сегменте s собственный брэнд не запускается, Ss = 0;

Es —  номер последнего месяца, предельный ДП в котором учитывается при расчете NPV_s. Es = Ss + 11.

Сочетания проектов и месяцев запуска будем обозначатьсочетанием цифр s1, s2, s3, s4, s5. Переменная, за обозначением которой стоитцифра «0», относится к случаю отказа от запуска собственного брэнда во всехсегментах рассматриваемых отделов (сочетание 00000).

Для сочетания 00000: E(NPV) = V(NPV) = 0.

Для всех прочих сочетаний: (здесь и далее суммирование производится по тем s (сегментам), в которых собственный брэнд запускается).

NPV распределен нормально каксумма нормальных св. Рассчитаем параметры распределения:

Расчет ковариаций, образующих данную сумму, проводитсяаналогично расчету ковариаций, выполненному в предыдущем разделе.

Итак, суммарный NPV любого возможногосочетания проектов запуска собственного брэнда по всем сегментам двух отделовраспределен нормально с рассчитанными выше параметрами.

Резюме теоретической части

Постановка оптимизационной задачи в предлагаемой математическоймодели принятия инвестиционных решений имеет вид:

,

.

В рассматриваемой задаче для каждоговозможного сочетания проектов x на основе указанныхвыше предположений о распределении и корреляции составляющих денежного потокасети доказано, что NPV каждого сочетания распределен нормально, рассчитаныпараметры его распределения; доказано, что величина денежных средств сети наконец каждого из месяцев m в случае реализации любогосочетания x CE_m(x) распределена нормально, рассчитаны параметры еераспределения. Таким образом, в общем видезадача решена.

Результаты решения задачи для конкретного набора параметров

Рассмотрим результаты решения задачи применительно кконкретному набору параметров. Модель позволит проследить, как изменениеотношения инвестора к риску влияет на диапазон сочетаний, удовлетворяющихусловиям обеспечения платежеспособности компании, и на решение задачи.

Таблица 1

Параметры ценовых сегментов

Расчет параметров нормальных распределений продаж, себестоимости и маржинального дохода для каждого из возможных сочетаний проектов проводится по апрель 2004 г. (месяц 20), поскольку при расчете NPV запуска собственного брэнда в верхнем ценовом сегменте соков в мае 2004 г. (месяц 9) используется предельный ДП в этом месяце. Для примера приведем значения мат. ожиданий (МО) этих распределений по нескольким месяцам для верхнего ценового сегмента соков в случае отказа от запуска собственного брэнда в данном сегменте (таблица 2). Все денежные значения приводятся в тыс. долл.

Таблица 2

Таблица 3

Прочие параметры

Оценка ДС сети на начало сентября 2003 г. (CE0)	420
Оценка E (OСM) в сен. 2003	1500
Оценка Кv (OСM) для всех месяцев	0,05
Оценка OC в сен. 2003	1550
Ставка дисконта (за год)	15%
Доверительная вероятность (P)	0,95
Страховой резерв (D)	100
Коэффициент  в критерии	0,005

Компании предстоит погасить следующие кредиты: 1000 вдекабре 2003 г., 1150 в мае 2004 г. и 2650 в декабре 2004 г.; все кредиты быливзяты под 10% годовых, проценты выплачиваются по месяцпогашения кредита.

При данных параметрах получаем следующие результаты расчета составляющих ДП компании.

Таблица 4

Как видно из таблицы 5, при отказе от запуска собственных брэндов во всех сегментах двух отделов (сочетание 00000) невыполняются условия обеспечения платежеспособности компании: 5% квантильраспределения величины ДС компании в декабре 2004 г. меньше величины страховогорезерва (100).

Таблица 5

Параметры распределений МД по двум отделам и ДС сети в случае отказа от запуска собственных брэндов во всех сегментах
(сочетание 00000)

Условиям обеспечения платежеспособности сети удовлетворяютследующие сочетания проектов: 059 72, 050 72, 915 72, 015 72, 910 72, 010 72,951 72, 051 72, 519 72, 519 70, 019 72, 510 72, 591 72, 501 72. Из нихмаксимум критерию оптимизационной задачи доставляет сочетание 951 72 сЕ(NPV) = 297,91, S(NPV) = 82,23.

Итак, решением задачи при данных значениях параметровявляется сочетание 951 72, предполагающее запуск собственногобрэнда во всех сегментах двух рассматриваемых отделов.

Рассмотрим, каким образом изменение отношения инвестора к риску влияет на решение задачи. Отношение инвестора к риску выражается в модели через три параметра: в критерии — через постоянную , обратно пропорциональную склонности инвестора к риску (чем выше , тем с большим весом в критерий с отрицательным знаком входит дисперсия NPV, т.е. мера риска); в условиях обеспечения платежеспособности компании — через доверительную вероятность и страховой резерв. Очевидно, чем менее инвестор склонен к риску и чем меньшую вероятность неплатежеспособности компании он считает возможным допустить, тем бoльшими задаются доверительная вероятность и требуемый страховой резерв.

Влияние изменения на решение задачи отражено в таблице 6. Для сочетаний, каждое из которых является решением задачи при одном из четырех выбранных уровней , на пересечении и сочетания приведено значение критерия.

Таблица 6

x
	E(NPV)	S(NPV)	0,005	0,03	0,033	0,044
951 72	297,91	82,23	264,11	95,08	74,8	0,42
915 72	295,91	81,81	262,44	95,14	75,06	1,45
910 72	276,64	78,08	246,15	93,72	75,43	8,36
519 70	237,28	72,05	211,33	81,56	65,99	8,9

При увеличении  предпочтение смещается в сторону сочетаний с меньшим ожидаемым значениемNPV, но и соответственно меньшей дисперсией NPV.

Из всех удовлетворяющих условиям обеспеченияплатежеспособности сети сочетаний проектов оптимальное при исходныхпараметрах сочетание 951 72 имеет наибольшее E(NPV), поэтому уменьшение   не приведет к изменению решения задачи.

Влияние изменения страхового резерва (D) на диапазонсочетаний, удовлетворяющих условиям обеспечения платежеспособности, отражено втаблице 7.

Таблица 7

При меньших начальных (100) величинах страхового резерварезко увеличивается число сочетаний, удовлетворяющих условиям обеспеченияплатежеспособности, при этом решение остается прежним, т.к. сочетания, входящиев число допустимых, имеют меньшие значения критерия. При увеличении страховогорезерва уже до 110 условиям обеспечения платежеспособности удовлетворяет лишьодно сочетание — 051 72. Заметим, что оно отличается от предыдущего решениятем, что не запускается собственный брэнд в верхнемценовом сегменте соков; его NPV имеет E = 256,61, S = 76,16. Таким образом, ценойувеличения страхового резерва на 10 является потеря в NPV ожидаемой величины41:

.

Влияние изменения доверительной вероятности на диапазонсочетаний, удовлетворяющих условиям обеспечения платежеспособности, отражено втаблице 8.

Таблица 8

Увеличение доверительной вероятности на 1% (до 96%) ведет к невыполнению условий обеспечения платежеспособности для всех возможных сочетаний проектов. Меньшим значениям доверительной вероятности соответствует более широкий диапазон приемлемых с точки зрения поддержания платежеспособности компании сочетаний проектов, но оптимальное решение остается прежним, т.к. сочетаниям, входящим в число допустимых, соответствуют (при = 0,005) меньшие значения критерия.

Резюме

На основе проведенного расчетного исследования мы полагаемвозможным сделать вывод об эффективности и практической применимостипредлагаемой модели принятия инвестиционных решений. Как показано на примерерассмотренной задачи, вывод распределений NPV проектов и величины денежныхсредств компании и расчет параметров этих распределений может быть произведенна основе малого числа теоретически и статистически обоснованных предположенийо характере распределения денежных потоков компании, что означает практическуюприменимость модели в широком классе задач.

Модель позволяет полностью и математически обоснованно учесть в процессе принятия решений волатильность денежных потоков, генерируемых каждым проектом, прочих денежных потоков компании, адекватно отражает корреляционную зависимость между различными проектами. Аналитик имеет возможность отразить отношение менеджмента компании к степени волатильности денежных потоков, генерируемых  рассматриваемыми проектами, путем изменения единственного параметра — .

Используемый в модели подход к обеспечениюплатежеспособности компании позволяет в явном виде принять решение о допустимомуровне риска неплатежеспособности и величине страхового резерва и отследить ихвлияние на диапазон допустимых с точки зрения финансирования сочетаний проектови на оптимальное решение.

Таким образом, предлагаемая модель позволяет отказаться отсущественной части упрощений, используемых в типичных подходах, и использовать бoльший объем информации, тем самым существенно повышая качество решения, получаемого аналитиком.

Литература

1. Anderson D.R., Sweeney D.J., Williams T.A. An Introduction to Management Science. Quantitative approaches to decision making. ITP, 2000.
2. Herbst A.F. Capital Asset Investment. Strategy, Tactics & Tools. John Wiley & Sons Ltd., 2002. 
3. Брейли Р., Майерс С. Принципы корпоративных финансов. — М.: ЗАО «Олимп-Бизнес», 1997.
4. Данг А.З. Бюджетирование реальных проектов в условиях неопределенности. Сборник тезисов международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2003». — М.: ТЕИС, 2003.
5. Данг А.З. Методы моделирования финансовых потоков на предприятии: Материалы конференции «Антикризисное управление в России в современных условиях». — М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002.

¹ Все оценки и расчеты ведутся в долларах США. Все денежные величины приводятся в тыс. долл. без указания единиц измерения.

Отдельные номера журналов Вы можете купить на сайте www.5B.ru
Оформление подписки на журнал: http://dis.ru/e-store/subscription/