Экспресс-диагностика проектного риска

доцент кафедры менеджмента Красноярского
государственного аграрного университета

Проблема оценки, прогнозирования и профилактики риска составляет основное содержание теории и практики риск-менеджмента производственных и финансовых инвестиций. Наиболее сложной и противоречивой проблемой является принятие решений по долгосрочным инвестициям. Поэтому остаются дискуссионными многие вопросы оценки, выбора альтернативы и распределения капиталовложений, в частности, вследствие наличия многих критериев предпочтения при обосновании инвестиционных решений и разных моделей финансирования. Предлагаемая статья относится к области экспертно-аналитической оценки проектного риска на стадии экономического обоснования. Целью работы является совершенствование методов прогнозирования финансовой надежности производственных инвестиций в условиях неопределенности.

Статистические показатели эффективности

Основная проблема обоснования проектных решений заключается в неопределенности будущих событий. Для учета неопределенности обычно используют имитационное моделирование определяющих факторов с целью получения статистических характеристик показателей эффективности.

Неопределенными величинами на этапе экономического обоснования являются спрос q, цена p, переменные издержки z, постоянные издержки С (кроме амортизации). Понятно, что предсказать значения этих величин на несколько лет вперед невозможно, так как они зависят от множества случайных факторов, меняющихся во времени.

В этой ситуации обычно используют экспертные оценки вероятного диапазона их изменения, то есть возможные нижние и верхние границы, а иногда и наиболее вероятные значения. Затем выбирают простейшие законы распределения в зависимости от степени неопределенности ситуации (равномерное, треугольное, нормальное) и выполняют компьютерное моделирование при заданном числе реализаций. В результате расчетов получают прогнозные оценки среднего значения и дисперсии годовых поступлений. При этом основная задача с точки зрения анализа риска заключается в оценке дисперсии, то есть возможного разброса дохода относительно среднего ожидаемого значения.

В большинстве случаев те же результаты можно получить с помощью простых аналитических расчетов, используя правила сложения и умножения средних значений и дисперсий случайных величин [1]. При условии независимости цены и объема продаж, что вполне обоснованно для предпроизводственной стадии, можно записать соотношения для среднего годового дохода и его дисперсии:

Где  – средний удельный маржинальный доход; – средние значения годового дохода, объема выпуска и постоянных издержек без амортизации соответственно; – дисперсии тех же показателей; k – ставка налога на прибыль; A – годовые амортизационные отчисления.

Средние, дисперсии и стандартные отклонения определяющих факторов можно найти по известным формулам в зависимости от заданного диапазона изменения и вида принятого закона распределения (табл. 1). При этом a означает минимально возможное, а b – максимально возможное значение показателя.

Таблица 1

Расчет статистических характеристик для типичных распределений

Видно, что по мере уменьшения степени неопределенности от равномерного до нормального закона, рассеивание показателя также уменьшается. Применение дискретных распределений, основанных на априорных вероятностях реализации определенных значений показателя, по нашему мнению, нереалистично и с позиций принципа недостаточного обоснования, и с точки зрения здравого смысла. Вряд ли кто-нибудь всерьез воспринимает рассуждения, что через год или два цена за единицу товара будет 10 руб. с вероятностью 0,3; 15 руб. с вероятностью 0,5 и 8 руб. с вероятностью 0,2. Можно прогнозировать диапазон и в лучшем случае наиболее вероятное значение, но никак не вероятности конкретных реализаций. Иными словами, задача заключается в обосновании допусков на определяющие параметры, которая намного проще и понятнее, чем прогнозирование вероятностей.

В большинстве известных моделей, в том числе и в классической имитационной модели Д. Герца [2] не учитывается корреляция между факторами, что может привести к ошибочным результатам. Например, дисперсия удельного маржинального дохода как разность двух случайных величин в общем случае рассчитывается по формуле

где  – коэффициент корреляции между ценой продукта и удельными переменными издержками;  – стандартные отклонения.

Если коэффициент корреляции между факторами близок к плюс единице, то справедливо следующее соотношение:

а если корреляция отсутствует, то есть факторы независимы, расчетная формула меняется:

Отсюда следует, что если не учитывать корреляцию между ценой и переменными издержками, то риск проекта необоснованно и существенно завышается.

Иногда считается заданной доля переменных издержек  в структуре цены товара. Например, средняя цена равна 10,67, стандартное отклонение цены 3,41, а доля  = 0,7. Тогда средние удельные переменные издержки будут равны 0,7 (10,67 = 7,47, стандартное отклонение издержек 0,7 (3,41 = 2,39, средний удельный маржинальный доход 10,67 – 7,47 = 3,2, стандартное отклонение дохода 3,41 – 2,39 = 1,024. Все расчетные величины выражены в рублях. Можно заметить, что в этом случае коэффициенты вариации для всех случайных величин всегда одинаковы: 3,41/10,67 = 2,39/7,47 = 1,024/3,2 = 0,32. Таким образом, в качестве исходной информации для оценки характеристик удельного маржинального дохода при заданной доле  необходимы лишь статистические характеристики цены, которые полностью определены, если задан возможный диапазон вариации и выбран соответствующий закон из таблицы 1.

В прогнозных расчетах наиболее реалистично предположение об умеренной положительной взаимной связи между ценой и удельными переменными издержками, при которой  = + 0,5. В этом случае формула приобретает вид

Допустим, что в предположении о равномерном распределении определяющих факторов получены прогнозные оценки среднего годового дохода  = 2200 тыс. руб. и его стандартного отклонения  = 500 тыс. руб. по формулам (1) и (2). Инвестиции в основной капитал составляют 6000 тыс. руб., срок жизни проекта – 5 лет, ставка дисконтирования – 10%. На основе этой информации надо рассчитать приведенную стоимость денежного потока за период жизненного цикла и его дисперсию, чтобы найти статистические характеристики NPV и других показателей эффективности.

Возможны два варианта моделирования потока наличности. Первый широко распространенный вариант основан на аннуитетной схеме, где в качестве постоянного члена финансовой ренты используется неизменная по периодам, но случайная по реализациям, величина годового дохода [3, 4]. В данном случае распределение годового дохода также остается постоянным по годам, то есть нормированная корреляционная функция равна единице на протяжении всего жизненного цикла проекта. При этом в принципе нет необходимости в имитационной модели, поскольку дисконтированная стоимость  ожидаемого денежного потока и стандартное отклонение  определяются по формулам для приведенной стоимости ренты – постнумерандо:

где i – ставка дисконтирования; n – число периодов (лет);  – стандартное отклонение годового дохода.

Получить более точные оценки за счет моделирования по данной схеме невозможно, так как показатели, рассчитанные по формулам (7) и (8), являются теоретическими пределами при неограниченном увеличении числа реализаций.

Чистый проведенный доход (эффект) от реализации проекта NPV определяется как разница между приведенной стоимостью всех предполагаемых поступлений S и дисконтированной стоимостью инвестиций K:

Для однократной инвестиции дисконтирование не требуется, а приведенную стоимость будущих доходов за период жизненного цикла рассчитывают с помощью дисконтирующего множителя :

где  n – номер года; s1, s2, s3 …sn – годовые поступления; i – годовая процентная ставка.

Стандартное отклонение NPV равно стандартному отклонению дисконтированной стоимости денежного потока, поскольку величина инвестиций постоянна. Зная статистические характеристики NPV можно найти вероятность недопустимых отрицательных значений, то есть оценить уровень риска инвестиционного предложения или проекта:

где  – аргумент стандартной функции нормального распределения, которому соответствует риск 0,1085, то есть 10,85%.

Если записать формулу (11) в другом виде (12), то меняется знак аргумента , и мы получим не показатель риска, а показатель надежности, равный 1– 0,1085 =0,8915=89,15%.

Однако выполненные с помощью генератора случайных чисел статистические эксперименты показывают, что рассмотренная модель дает чрезмерно пессимистическую оценку риска из-за предположения о неизменности распределения годового дохода в течение всего жизненного цикла. Поэтому предлагается другой вариант, при котором доходы по годам независимы, то есть нормированная корреляционная функция при сдвиге относительно первого года на любое число лет близка к нулю. Для этого варианта способ расчета приведенной стоимости  остается прежним, а для оценки дисперсии приведенной стоимости денежного потока нами получена следующая формула:

Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии:

Дальнейшие расчеты выполняются по аналогии с первым вариантом. Например, вероятность того, что NPV будет отрицательной, становится существенно меньше:

что соответствует риску всего 0,31%, то есть финансовая надежность инвестиций по данной схеме близка к ста процентам.

С увеличением нормы дисконта коэффициент рассрочки, который входит в предыдущие формулы в виде дроби, уменьшается и, следовательно, уменьшается разброс относительно среднего значения приведенного дохода, но одновременно снижается и сам доход. Если ставка дисконтирования равна нулю, то приведенный доход равен сумме средних годовых доходов по обеим схемам: 2200 х 5 = 11000 тыс. руб. Однако стандартные отклонения приведенного дохода определяются по-разному, например по первому варианту:

а по второму:

где n – число периодов (лет).

Видно, что в зависимости от принятой схемы риск проекта по критерию разброса чистой приведенной стоимости без учета обесценивания денег во времени отличается более чем в два раза. Можно отметить, что по второму варианту рассчитывается стандартное отклонение доходности рискованных ценных бумаг (волатильность) за любой период, если известна дневная волатильность. Тогда под корнем будет число торговых дней на бирже в соответствующем периоде (неделя, месяц, квартал, год).

Внутренняя ставка доходности для однократных инвестиций является положительным корнем алгебраического уравнения, степень которого равна сроку жизни проекта в годах:

Например, для вычисления IRR проекта с длительностью два года в принципе надо решить обычное квадратное уравнение относительно v, а сама ставка в виде десятичной дроби находится из соотношения

Поэтому для расчета внутренней ставки доходности можно использовать уравнение (14), которое применительно к условиям данной задачи принимает следующий вид:

Поскольку IRR не зависит от масштаба денежного потока, это уравнение можно переписать в другом виде:

где  – не дисконтированный срок окупаемости инвестиций, равный отношению инвестиций к расчетному среднегодовому доходу: 6000/2200 = 2,727 лет. В уравнении эта величина, естественно, безразмерная.

Проще всего алгебраические уравнения решаются в электронных таблицах с помощью инструмента подбора параметра, что дает с использованием формулы пересчета (15) для средней ставки IRR результат, равный 24,31%, причем точно такой же средний результат с разницей в долях процента мы получим и по методу Монте-Карло.
Алгоритм расчета среднего срока окупаемости показан в таблице 2. Видно, что окупаемость достигается на четвертом году эксплуатации проекта.

Таблица 2

Расчет среднего срока окупаемости инвестиций, тыс. руб.

Более точное значение можно получить по формуле линейной интерполяции:

Величина накопленного денежного потока на конец пятого года соответствует значению NPV = 8340 – 6000 = 2340 тыс. руб.

На основе полученных статистических оценок можно найти верхние и нижние границы показателей при определенном уровне доверия к точности результатов. Однако использовать такие оценки при сравнении вариантов по понятным причинам практически невозможно. Для ЛПР (лицо, принимающее решение) желательно свести свойства сравниваемых объектов к одному числу, хотя это далеко не всегда удается сделать. Поэтому в качестве базы расчета целесообразно принять вместо среднего годового дохода гамма процентный доход при заданной вероятности гамма, который зависит и от среднего значения, и от вариации показателя.

Другими словами, в качестве расчетной следует использовать такую величину годового дохода, которая будет гарантированно получена или превышена в гамма процентах из ста. Нормативная вероятность  задается инвестором или менеджером проекта в зависимости от их отношения к риску, причем минимальное значение должно быть, очевидно, не менее 80% (0,8).

Для определения гамма процентного дохода используется обратная функция нормального распределения, входными величинами в которую являются (1–), среднее и стандартное отклонение, а для срока окупаемости вместо (1–) – величина . Тогда для принятых исходных данных ( = 2200 тыс. руб.,  = 500 тыс. руб.) гамма процентный годовой доход при  = 0,8 по первой модели равен 1779 тыс. руб., а по второй — 2010 тыс. руб. Полученные величины позволяют найти гамма процентные значения всех частных показателей эффективности по приведенному выше алгоритму, с той лишь разницей, что вместо среднего годового дохода используется гамма процентный доход (табл. 3).

Таблица 3

Статистические показатели эффективности

На рисунке 1 показаны графики финансовой надежности инвестиций по критерию NPV для обоих рассмотренных вариантов. Видно, что средние значения одинаковы (2340 тыс. руб.), а гамма процентные значения NPV существенно отличаются: 745 (модель 1) и 1620 тыс. руб. (модель 2).

Рис. 1. Графики финансовой надежности инвестиций по критерию NPV

Таким образом, главное отличие предложенного метода заключается в применении более обоснованной, по нашему мнению, финансовой схемы для оценки возможного рассеивания значений дисконтированной стоимости денежного потока и NPV относительно средних значений. Установлено, что результаты аналитических вычислений и статистического эксперимента методом Монте-Карло практически не отличаются, что позволяет существенно снизить трудоемкость многовариантных инвестиционных расчетов.

Учет неопределенности инвестиций

Традиционные показатели эффективности инвестиций рассчитывают при неявном предположении, что величина инвестиционного капитала заранее точно известна. Однако это тоже далеко не всегда соответствует действительности. На самом деле, как и для всех других влияющих факторов, существует определенный диапазон размеров инвестиций, что оказывает существенное влияние на результаты оценки риска.

На рисунке 2 показан типичный случай, когда плотности вероятностей (теоретические гистограммы) приведенной стоимости денежного потока S и инвестиций K пересекаются в точке, равной вероятности, с абсциссой около 7 млн руб.

Рис. 2. Плотности распределений инвестиций и дисконтированного дохода

Пунктирные линии соответствуют средним значениям рассматриваемых параметров. Площадь области, где кривые перекрывают друг друга, определяет вероятность отрицательных значений NPV. Задача заключается в том, чтобы учесть этот риск при оценке эффективности проекта.

Для большей наглядности на рисунке 3 показаны интегральные функции для пяти возможных вариантов приведенного дохода S и дополнение до единицы интегральной функции для инвестиций K. Иными словами, в соответствии с логикой задачи для дохода используется вероятность непревышения заданного значения, а для инвестиций, наоборот, вероятность превышения. Варианты S1, S2, S3 характерны тем, что имеют одно и то же среднее значение приведенной стоимости денежного потока, но разные стандартные отклонения, поэтому и риск для этих вариантов тоже разный. Вариант S4 имеет большее среднее значение, но и большее рассеивание, поэтому риск снижается незначительно. Для варианта S5 кривые не пересекаются, то есть риск рассматриваемого типа полностью отсутствует.

Рис. 3. Интегральные функции распределений инвестиций и дохода

В соответствии с общими правилами  можно записать выражения для среднего значения и дисперсии чистой приведенной стоимости :

где  – коэффициент корреляции между инвестициями и приведенной стоимостью;
 – дисперсии и стандартные отклонения инвестиций и дохода.

Нормированное в долях стандартного отклонения значение  определяется из соотношения

Для удобства практического использования преобразуем полученное выражение, введя следующие обозначения:

 – коэффициент вариации инвестиций;
 – коэффициент вариации приведенного дохода;
 – средний индекс доходности инвестиций.

Выполнив необходимые преобразования, получим окончательное выражение для коэффициента , который является аргументом стандартной функции нормального распределения и определяет вероятность успеха проекта, то есть вероятность получения положительных значений NPV.

Если не учитывать корреляцию, то выражение упрощается:

А если инвестиции считаются точно известными, то используется формула

Например, при значении индекса доходности 1,39 из таблицы 3 и коэффициенте вариации приведенного дохода по первой модели 1895/8340 = 0,227 получим такое же значение, что было получено ранее:

Если учитывать неопределенность инвестиций с коэффициентом вариации 0,15, что соответствует стандартному отклонению 0,15 х 6000 = 900 тыс. руб., то надежность снижается:

что соответствует риску: 1 – 0,867 = 0,133 = 13,3%. Незначительное повышение риска объясняется высоким значением индекса доходности.

Наиболее приемлемой для практического применения является формула (20), поскольку коэффициент корреляции между приведенным доходом и инвестициями заранее предсказать практически невозможно.

Таким образом, в статье предлагаются простые аналитические зависимости для экспресс-диагностики проектного риска, которые позволяют получить оценки показателей эффективности в условиях неопределенности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории вероятностей. – М.: Радио и связь, 1983.

2. Ван Хорн. Дж. К. Основы управления финансами. – М.: Финансы и статистика, 2005.

3. Крушвиц Л. Инвестиционные расчеты: Пер. с нем. под общей ред. В.В. Ковалева и З.А. Сабова. – СПб.: Питер, 2001.

4. Лукасевич И.Я. Анализ финансовых операций. – М.: Финансы, 1998.

Отдельные номера журналов Вы можете купить на сайте www.5B.ru
Оформление подписки на журнал: http://dis.ru/e-store/subscription/